Bienvenue sur le blog Mathématiques de la PSI du lycée H. Moissan de Meaux

Endomorphismes des espaces euclidiens

Matrices orthogonales, matrices de rotation

Automorphismes orthogonaux.

Adjoint d’un endomorphisme

Existence et unicité (DEM)

Le noyau de u* est l'orthogonal de l'image de u et l'image de u* est l'orthogonal du noyau de u (DEM)

Endomorphismes autoadjoints (ou symétriques)

Théorème spectral (DEM avec les deux lemmes préparatoires)

Diagonalisation des matrices symétriques réelles

Espaces préhilbertiens

Produit scalaire euclidien : définitions, norme euclidienne, propriétés, exemples usuels

 Produit scalaire hermitien : définitions, norme hermitienne, propriétés, exemples usuels.

Inégalité de Cauchy-Schwarz et de Minkowski (cas euclidien et hermitien) (DEM)

Procédé d’orthonormalisation de Schmidt

Base orthonormée, composantes dans une b.o.n

Forme linéaire : théorème de Riesz

Orthogonal d’un ssev, ssev orthogonaux, supplémentaire orthogonal, cas de la dimension finie

Projecteurs et symétries orthogonaux, inégalité de Bessel

Distance à un ssev

Fonctions définies par intégrale

Continuité

Théorème de continuité par domination (DEM)

Théorème de continuité par domination sur tout segment

Cas d’une intégration sur un segment

Dérivation

Formule de Leibniz (la fonction définie par intégrale est de classe C¹) (DEM)

Théorème pour montrer que la fonction définie par intégrale est de classe Cⁿ

Cas d’une intégration sur un segment

Intégration sur un intervalle quelconque

• Définition de l’intégrale sur un intervalle quelconque I, relation de Chasles, linéarité, conjugaison
• Intégrales de Riemann
• Si  f continue par morceaux et positive, l’intégrale de f sur I converge ssi il existe un réel majorant toutes les intégrales de f sur des segments inclus dans I. 
• Fonctions intégrables : Intégrabilité implique convergence de l’intégrale, Intégrale semi-convergente, Théorème de domination, Comparaison locale et intégrabilité (domination, négligeabilité et équivalence)
•  Définition de l’intégrale sur un intervalle quelconque I
•  Propriétés : relation de Chasles, linéarité, conjugaison
•  Intégrales de Riemann
•  Intégrabilité de fonctions positives (DEM)
•  Fonctions intégrables
•  Intégrabilité implique convergence de l’intégrale (DEM)
•  Intégrale semi-convergente
•  Théorème de domination
•  Comparaison locale et intégrabilité (domination, négligeabilité et équivalence)
•  Intégrales de Bertrand
•  Calculs :  Intégration par parties,  Changement de variable,  Intégration séquentielle (DEM)
•  Convergence en moyenne, en moyenne quadratique :  définition des deux normes, sur un intervalle borné, CVU implique CV en moyenne et dans ce cas, interversion limite/intégrale (DEM)
•  Théorème de CV dominée (admis)
•  Intégration terme à terme d’une série de fonctions (admis)