Dates des inscrptions :
du 10 décembre 2011 au 10 janvier 2012
Pièces justificatives à envoyer avant le 25 janvier.
Dates des Concours 2012 :
X-ENS : 16, 17, 18, 19 et 20 avril
Mines-Ponts : 25, 26, 27 avril
Centrale-Supelec : 30 avril, 2, 3 et 4 mai
CCP : 7, 9, 10 et 11 mai
E3A : 18, 19, 21 et 22 mai
Espaces vectoriels normés
vNormes
v Equivalence de normes
v Convergence de suites vectorielles
v Limites de fonctions vectorielles
v Continuité
définitions
fonctions lipschitziennes
opérations sur les fonctions continues
Continuité et applications linéaires
u continue ssi u continue en 0 ssi u lipschitzienne ssi u « lipschitzienne en 0 » (DEM)
si E ev de dim finie, toute application linéaire de E dans F est continue
norme triple ou subordonnée
continuité des applications bilinéaires
Topologie dans un espace vectoriel normé
Ouverts et fermés
Définition d’un ouvert, d’un fermé
Union, intersection, produit cartésien d’ouverts, de fermés
Caractérisation séquentielle d’un fermé (DEM)
L’image réciproque d’un ouvert (resp. d’un fermé) par une fonction continue est un ouvert (resp. un fermé) (DEM)
Intérieur et adhérence
Définition d’un point intérieur, d’un point adhérent, d’un point frontière
Caractérisation séquentielle d’un point adhérent
Complétude
Valeur d’adhérence
Th de Bolzano-Weierstrass dans les réels
Suite de Cauchy (définition, propriétés)
Espace complet, de Banach
Compacité
Définition
En dimension finie, l’image d’un compact par une fonction continue est compacte.
En dimension finie, une fonction à valeurs réelles continue sur un compact est bornée et atteint ses bornes.
Espaces vectoriels normés
Normes
définition
distance associée
propriétés algébriques
boules et sphères
parties bornées
normes usuelles sur Kn, sur un produit cartésien, sur un ev de dim finie, sur Mp,q(K), sur Kn[X], sur C([a,b],K)
Equivalence de normes
norme dominée par une autre norme
normes équivalentes
Dans un ev de dim finie, toutes les normes sont équivalentes (admis)
Convergence de suites vectorielles
définition
effet d’un changement de normes
convergence pour une suite vectorielle dans un ev de dim finie : la suite vectorielle converge ssi toutes ses suites composantes convergent (DEM)
comparaison de suites (domination et négligeabilité d’une suite vectorielle devant une suite réelle, équivalence de deux suites scalaires)
Limites de fonctions vectorielles
point adhérent
a point adhérent à X ssi toute boule ouverte de centre a est d’intersection non vide avec X ssi il existe une suite d’éléments de X tendant vers a (DEM)
définition de la convergence d’une fonction
comparaison de fonctions (domination et négligeabilité d’une fonction vectorielle devant une fonction à valeurs réelles, équivalence de deux fonctions à valeurs réelles)
caractérisation séquentielle : f converge vers l en a ssi l’image de toute suite tendant vers a tend vers l (DEM)
convergence d’une fonction à valeurs dans un ev de dim finie
convergence d’une fonction à valeurs dans un ev produit
Continuité
définitions
fonctions lipschitziennes
opérations sur les fonctions continues
Continuité et applications linéaires
u continue ssi u continue en 0 ssi u lipschitzienne ssi u « lipschitzienne en 0 » (DEM)
si E ev de dim finie, toute application linéaire de E dans F est continue
norme triple ou subordonnée
continuité des applications bilinéaires
Eléments d’algèbre linéaire
Somme directe de n sous-espaces vectoriels
Définition
4 caractérisations équivalentes (DEM)
Ssev supplémentaires
Famille de projecteurs associée à une décomposition en somme directe
Caractérisation d’une application linéaire
Base d’un ev
Famille libre, génératrice et base (cardinal fini ou non)
Lien entre application injective, surjective, bijective et image d’une base
Dimension
Dimension d’une somme directe
Codimension
Rang d’une application linéaire
Théorème et formule du rang (DEM)
Interpolation de Lagrange (DEM)
Dualité
Hyperplan : définition et caractérisations
Base duale
Base antéduale
Equation d’un hyperplan
Les notions d’espace vectoriel, de dimension, de rang, …. vues en 1ère année doivent être connues et peuvent faire l’objet d’exercices.
Semaine 1 du 19 au 24 septembre 2011 PSI
Eléments d’algèbre linéaire
ü Somme directe de n sous-espaces vectoriels
o Définition
o 4 caractérisations équivalentes (DEM)
o Ssev supplémentaires
o Famille de projecteurs associée à une décomposition en somme directe
o Caractérisation d’une application linéaire
ü Base d’un ev
o Famille libre, génératrice et base (cardinal fini ou non)
o Lien entre application injective, surjective, bijective et image d’une base
ü Dimension
o Dimension d’une somme directe
o Codimension
o Rang d’une application linéaire
o Théorème et formule du rang (DEM)
o Interpolation de Lagrange (DEM)
ü Dualité
o Hyperplan : définition et caractérisations
Les notions d’espace vectoriel, de dimension, de rang, …. vues en 1ère
année doivent être connues et peuvent faire l’objet d’exercices.